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尽管教书已经七八年,但是在备课的时候,还是常常忘记老同事的告诫:“别以为课本上的知识很简单,那是对你简单,对学生可难了!”
我曾经在课堂上帮学生计算圆锥的侧面积,学生折腾了好久才算出来。随后出现了一道要求扇子面积的题目,学生立刻就蒙了,半天都下不了手。我也很纳闷:“不就是计算扇形面积吗!”
(1)
这里涉及一个问题:为什么新的概念会让学生难以理解,尤其是抽象概念,而且理解了以后又很难应用到新的问题中去?
对此,认知科学家给出的答案是,学生应该通过联系已知的概念来理解新的概念。理解新的概念,其实就是让正确的已知概念放入工作记忆,并与新的概念重新组合的过程。
比如,你不知道“等腰三角形”的意思,但查询发现其定义是“有两条边相等的三角形”。如果你知道什么是“两条边相等”和“三角形”,你就能理解“等腰三角形”的意思。
已知概念和新的概念联系越紧密,理解也就越容易。然而,有时对于抽象概念,即使解释了其定义,还是难以理解。这时我们需要具体的实例,因为大脑不喜欢抽象的事物,它更倾向于选择具体的事物。
比如,你想理解什么是“圆”,查到其定义是“到定点等于定长的所有点的集合”。看了定义,你是不是感觉等于没看?如果我告诉你,像车轮和呼啦圈那样的就是圆,你一下子就明白了。
实例的作用是把抽象的概念具体化,越常见的实例对抽象概念的理解越有帮助,最好是常识,不常见的例子往往无济于事。
比如我和你说:“不同的测量方式提供了不同种类的信息,顺序量表提供等级,等距测量对数值间的差别有意义。举个例子,莫氏矿物硬度是一个顺序量表,而成功的罗珠模型是一种等距测量。”
听完以后,你会不会觉得我是个傻×?因为在你的常识里,不大可能会出现莫氏矿物硬度和罗珠模型,所以尽管我把它们作为实例,但你还是无法理解什么是顺序量表和等距测量。
当我们给了学生一个解释和一系列实例的时候,学生真的理解了吗?通常没有,理解还面临两个问题。
(2)
一个问题是,即使学生“懂了”,理解也是有深浅之分。一个学生理解得很浅显,另一个学生则理解的很透彻。
很多教师都有相同的经历:你问学生一个问题,学生复述你的话或者课本上的解释,一字不差。答案肯定是正确的,但你还是隐约觉得这个学生只是机械地记住了答案,并不明白自己在说什么。
这个现象反应了理解的第一个层次,机械记忆。机械记忆表示你对知识一点也不了解,只能逐字死记。有时候机械记忆的确有效,比如语文中的诗词默写,即便不理解,但只要记得就容易拿满分。可是随着不理解的知识越来越多,机械记忆也会容易出现混乱。比如学生在刚学习“两直线平行,同位角相等”的时候,几何语言写得溜溜的;时间一长,再次遇到平行,就会出现“因为AB//CD,所以AB=CD”这样的笑话。显然这是机械记忆惹的祸。
比机械记忆更常见的是理解的第二层次,表面知识。表面知识指的是对知识有一点了解,但又局限。我们已经说过学生通过联系已知概念理解新的概念,如果他们的认识很浅显,这一过程就无法进行下去。他们的知识需要依赖老师提供的类比或解释,而且在已提供的环境下才能理解。比如有的学生知道勾股定理是直角三角形的一个性质,也知道“a+b=c”,但他对勾股定理的认识也到此为止。当他遇到下面的题目时,他需要老师的提示才能理解为什么这道题是“a+c=b”,而不是“a+b=c”。
表面知识之后,是理解的第三层次,深层知识。我们希望学生能够把知识理解透彻,其实就是希望学生的理解能够达到深层知识这个层次。
但为什么学生还是只有表面知识呢?一个明显的原因是学生上课不专心。比如你想用“手机话费”来演示如何求函数关系式,但学生想到的却是自己周末打王者时发动了几个技能。
另一个原因是深层知识比表面知识更难获得。深层知识不仅表示理解抽象的概念,还包括实际的例子,以及它们之间的联系。
比如你准备向学生介绍政府的概念,你希望学生理解的重点,是一群一起生活或工作人需要设定规则。为此,你选用了两个常见的例子,课堂和家庭,来帮助学生理解。
机械记忆的学生可能会说:“政府就像课堂,它们都有规则。”他完全没有理解两个团体存在的共同点。表面知识的学生会说:“政府就像课堂,由一群需要规则才能正常工作的人组成”。如果你再问:“政府和课堂有什么不同的地方?”他可能就卡住了。深层知识的学生不仅能回答这些问题,他还可以将类比扩展到其他团体,比如临时凑在一起打篮球的几个朋友。
(3)
当学生理解一个抽象概念的时候,我们就会希望他能够迁移,也就是把已有的知识应用到新的问题中去。这是理解要面临的第二个问题。
有时候,学生明明会做一道题,可是再给一道换汤不换药的题目,他又不会做了,这是为什么呢?
先来看两个问题:
小明在给他的草地撒种,草地宽10米,长20米。请问草地多大?小明在给他的墙刷油漆。墙长12米,高5米。请问墙多大?
第一道题和播种有关,第二道题和刷漆有关,心理学家把这种差异成为表层结构。从解题的角度看,两道题目都是在计算一个长方形的面积,也就是“长×宽”,它们的解题步骤是相同的,因此,这两道题有着相同的深层结构。
我们希望会解第一道题的学生也会解第二道题,也就是说,我们希望学生把解第一道题的知识迁移到第二道题中。显然,对迁移有帮助的,不是问题的表层结构,而是深层结构。识别问题的深层结构,是知识迁移的关键之一。
为什么我们不善于迁移?第一个原因和我们怎样理解事物有关。当我们阅读一个问题的时候,大脑会选择合适的已有知识,帮助我们理解问题中的概念,合适的已有知识常常和表层结构有关。这可以让我们更快地理解问题的表层结构,但也让我们难以辨认问题的深层结构。
有一个经典的实验,要求大学生解答下面的肿瘤问题:
假如你是一名医生,有一个病人胃里长了恶性肿瘤。由于条件所限,不能给病人做手术,但如果不摘除肿瘤病人会死亡。有一种特殊的射线可以杀死癌细胞。如果想把肿瘤一次性去除,使用的射线强度会过大,病人未病变的器官会受到影响。射线强度低的话,对正常器官没有影响,但对癌细胞也没有效果。请问怎样在杀死癌细胞的同时,保护正常的器官呢?
大多数学生解不出来,实验者便告诉他们答案:将几束低强度射线从不同角度聚焦在肿瘤上,这样正常的器官就不受影响,但射线的强度相加足以杀死癌细胞。
确定学生理解了答案后,实验者给他们看下面的军队问题:
一个小国家的独裁皇帝住在城堡里,这个城堡在国家的中心位置,有很多条道路呈辐射状向外延伸。一个将军计划攻陷城堡,解放老百姓。如果他将全部兵力集中进攻,那么一次就可以攻下城堡。但线人告诉将军,皇帝在每条路上都埋了地雷,如果通过的人数少,地雷不会引爆;如果通过的人数一多,地雷就会爆炸。这不仅会破坏道路,还会摧毁附近的村庄。请问将军应该如何进攻?
这两个问题有着同样的深层结构:如果人数太多会带来损失,将军可以分散兵力从各个方向进攻。答案可能很明显,但被试的大学生没有意识到。只有30%的被试者做对了第二道题,尽管他们刚刚才看到一个大同小异的问题和答案。因为大脑理解事物的习惯让他们觉得,第一道题和肿瘤有关,第二道题和军队有关,两者怎么会有联系呢?
既然如此,如果在阅读的时候,直接告诉学生要思考深层结构,问题不就解决了吗?不能。这个办法的缺点在于,问题的深层结构不容易发现,更糟糕的是,一个问题往往不止一个深层结构。比如你在读上面的军队问题时,很难同时思考:它的深层结构符合勾股定理吗?是在找化学反应吗?是不是能量守恒定律?要理解深层结构,你不仅需要理解问题的所有方面是怎样联系在一起,还要分清主要和次要的方面。
上述实验中,在回答了肿瘤问题后,实验者告诉被试的大学生:“这个肿瘤问题可能对解答军队的问题有帮助。”这时几乎所有人都能解答第二道题。两道题的类比很容易看出来:城堡就像肿瘤,军队就像射线,所以问题的根源是人们没有意识到这两题有相同的深层结构。
有些时候,即使学生知道一个新的问题和已解答的问题有同样的深层结构,迁移的效果也不尽如人意。记得有个同事说过:“有些知识点没必要备课,让学生自己看课本上的例题,然后做习题就好了。”其实这样做的效率通常不高。想象一下,一个学生知道他在解的问题与函数关系式有关,课本上也有例题及其解题过程。尽管例题和在解的问题表面上看不同,一个是关于杂货店的存货,一个是关于手机话费,学生也明白自己应该透过表层结构发现深层结构,但是要想参考书中例题的思路,他必须理解这两个问题是如何分别映射到深层结构的。这就像他理解上面的肿瘤问题,也知道它的答案,但当他遇到军队问题时,他就不知道军队是对应射线、肿瘤还是正常器官。因此,当一个问题有很多组成部分,解答步骤很多时,迁移常常因为找不到已解答的问题到新问题的映射而难以实现。
识别问题与深层结构之间的对应关系,是迁移的第二个关键。
(4)
既然理解新的概念不容易,即使理解了也不容易迁移到新的问题中去。那么,我们可以如何应对呢?
要想深层理解新的概念,关键在于正确地联系合适的已知概念和实际例子。因此,可以选择如下策略:
选择合适的已有概念选择合适的实际例子构建正确的联系方式
比如,理解三角形的高,我们可以选择“三角形”和“点到直线的距离”作为已有概念,确保学生先了解。接着,选择足够多的三角形作为实例,不仅要有锐角三角形,还要有直角三角形和钝角三角形;三角形不仅要正着放,还要倒着放和侧着放。最后,帮助学生构建正确的联系,让学生理解“三角形的高就是顶点到其对边的距离”;同时,通过练习在各种三角形上画高,比较各种三角形的高的不同点,从而理解高的概念。
理解概念之后,是知识的迁移。要想提高迁移的概率,关键在于识别问题的深层结构,以及找到问题与深层结构之间的对应关系。因此,在理解的基础上,可以选择如下策略:
单题练习形成深层结构题组练习巩固深层结构
比如,当学生遇到下面的题目:
一辆汽车计划从A地出发开往千米远的B地,事发突然,加速为原速的1.5倍,结果比计划提前40分钟到达B地,求原计划平均每小时行驶多少千米?
解答之后,我们可以提出问题:“这道题考察了什么知识点?”学生经过思考和提示,得出这道题主要考察分式方程的应用,列方程的时候,还涉及到“速度=路程÷时间”的等量关系。这样,学生就能初步形成这道题的深层结构。
为了巩固对深层结构的理解,我们可以设计下面的题组练习:
为了继续美化城市,计划在路旁栽树棵,由于志愿者的参加,实际每天栽树的棵树比原计划多20%,结果提前4天完成,求实际每天栽树多少棵?甲、乙两名学生练习计算机打字,甲打一篇字的文章与乙打一篇字的文章所用的时间相同.已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字,问:甲、乙两人每分钟各打多少个字?某商店用元购进第一批某种文具盒,很快卖完.又用元购进第二批该种文具盒,但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍,数量比第一批多了10只.求第一批每只文具盒的进价是多少元?
学生解答以后,我们可以引导其观察这几道题的相似点,让学生总结出它们都是考察分式方程的应用,而且列方程的时候,还涉及到“单位量=总量÷数量”的等量关系。这样,学生就能强化对这类题目的深层结构的理解,为以后的迁移增大了概率。
最后想说的是,尽管深层知识是你想要达到的目标,但是你应该清楚学生能达到的层次,以及他们多久才能达到这一层次。深层知识来之不易,是反复训练的结果。如果一个复杂的概念,你的学生在短时间内还没有深层的理解,你千万不要泄气。表面知识比一无所知要好得多,再说表面知识是通向深层知识的台阶。你的学生可能需要好几年才能获得真正的深层理解,你能做的就是带领他们走下去,并掌控好前进的节奏。
教育是一门需要等待的艺术。
参考资料:
《为什么学生不喜欢上学?》作者:(美)威廉厄姆Willingham.D.T.)出版社:江苏教育出版社年
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