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尽管教书已经七八年，但是在备课的时候，还是常常忘记老同事的告诫：“别以为课本上的知识很简单，那是对你简单，对学生可难了！”
我曾经在课堂上帮学生计算圆锥的侧面积，学生折腾了好久才算出来。随后出现了一道要求扇子面积的题目，学生立刻就蒙了，半天都下不了手。我也很纳闷：“不就是计算扇形面积吗！”
（1）
这里涉及一个问题：为什么新的概念会让学生难以理解，尤其是抽象概念，而且理解了以后又很难应用到新的问题中去？
对此，认知科学家给出的答案是，学生应该通过联系已知的概念来理解新的概念。理解新的概念，其实就是让正确的已知概念放入工作记忆，并与新的概念重新组合的过程。
比如，你不知道“等腰三角形”的意思，但查询发现其定义是“有两条边相等的三角形”。如果你知道什么是“两条边相等”和“三角形”，你就能理解“等腰三角形”的意思。
已知概念和新的概念联系越紧密，理解也就越容易。然而，有时对于抽象概念，即使解释了其定义，还是难以理解。这时我们需要具体的实例，因为大脑不喜欢抽象的事物，它更倾向于选择具体的事物。
比如，你想理解什么是“圆”，查到其定义是“到定点等于定长的所有点的集合”。看了定义，你是不是感觉等于没看？如果我告诉你，像车轮和呼啦圈那样的就是圆，你一下子就明白了。
实例的作用是把抽象的概念具体化，越常见的实例对抽象概念的理解越有帮助，最好是常识，不常见的例子往往无济于事。
比如我和你说：“不同的测量方式提供了不同种类的信息，顺序量表提供等级，等距测量对数值间的差别有意义。举个例子，莫氏矿物硬度是一个顺序量表，而成功的罗珠模型是一种等距测量。”
听完以后，你会不会觉得我是个傻×?因为在你的常识里，不大可能会出现莫氏矿物硬度和罗珠模型，所以尽管我把它们作为实例，但你还是无法理解什么是顺序量表和等距测量。
当我们给了学生一个解释和一系列实例的时候，学生真的理解了吗？通常没有，理解还面临两个问题。
（2）
一个问题是，即使学生“懂了”，理解也是有深浅之分。一个学生理解得很浅显，另一个学生则理解的很透彻。
很多教师都有相同的经历：你问学生一个问题，学生复述你的话或者课本上的解释，一字不差。答案肯定是正确的，但你还是隐约觉得这个学生只是机械地记住了答案，并不明白自己在说什么。
这个现象反应了理解的第一个层次，机械记忆。机械记忆表示你对知识一点也不了解，只能逐字死记。有时候机械记忆的确有效，比如语文中的诗词默写，即便不理解，但只要记得就容易拿满分。可是随着不理解的知识越来越多，机械记忆也会容易出现混乱。比如学生在刚学习“两直线平行，同位角相等”的时候，几何语言写得溜溜的；时间一长，再次遇到平行，就会出现“因为AB//CD，所以AB＝CD”这样的笑话。显然这是机械记忆惹的祸。
比机械记忆更常见的是理解的第二层次，表面知识。表面知识指的是对知识有一点了解，但又局限。我们已经说过学生通过联系已知概念理解新的概念，如果他们的认识很浅显，这一过程就无法进行下去。他们的知识需要依赖老师提供的类比或解释，而且在已提供的环境下才能理解。比如有的学生知道勾股定理是直角三角形的一个性质，也知道“a+b=c”，但他对勾股定理的认识也到此为止。当他遇到下面的题目时，他需要老师的提示才能理解为什么这道题是“a+c=b”，而不是“a+b=c”。
表面知识之后，是理解的第三层次，深层知识。我们希望学生能够把知识理解透彻，其实就是希望学生的理解能够达到深层知识这个层次。
但为什么学生还是只有表面知识呢？一个明显的原因是学生上课不专心。比如你想用“手机话费”来演示如何求函数关系式，但学生想到的却是自己周末打王者时发动了几个技能。
另一个原因是深层知识比表面知识更难获得。深层知识不仅表示理解抽象的概念，还包括实际的例子，以及它们之间的联系。
比如你准备向学生介绍政府的概念，你希望学生理解的重点，是一群一起生活或工作人需要设定规则。为此，你选用了两个常见的例子，课堂和家庭，来帮助学生理解。
机械记忆的学生可能会说：“政府就像课堂，它们都有规则。”他完全没有理解两个团体存在的共同点。表面知识的学生会说：“政府就像课堂，由一群需要规则才能正常工作的人组成”。如果你再问：“政府和课堂有什么不同的地方？”他可能就卡住了。深层知识的学生不仅能回答这些问题，他还可以将类比扩展到其他团体，比如临时凑在一起打篮球的几个朋友。
（3）
当学生理解一个抽象概念的时候，我们就会希望他能够迁移，也就是把已有的知识应用到新的问题中去。这是理解要面临的第二个问题。
有时候，学生明明会做一道题，可是再给一道换汤不换药的题目，他又不会做了，这是为什么呢？
先来看两个问题：
小明在给他的草地撒种，草地宽10米，长20米。请问草地多大？小明在给他的墙刷油漆。墙长12米，高5米。请问墙多大？
第一道题和播种有关，第二道题和刷漆有关，心理学家把这种差异成为表层结构。从解题的角度看，两道题目都是在计算一个长方形的面积，也就是“长×宽”，它们的解题步骤是相同的，因此，这两道题有着相同的深层结构。
我们希望会解第一道题的学生也会解第二道题，也就是说，我们希望学生把解第一道题的知识迁移到第二道题中。显然，对迁移有帮助的，不是问题的表层结构，而是深层结构。识别问题的深层结构，是知识迁移的关键之一。
为什么我们不善于迁移？第一个原因和我们怎样理解事物有关。当我们阅读一个问题的时候，大脑会选择合适的已有知识，帮助我们理解问题中的概念，合适的已有知识常常和表层结构有关。这可以让我们更快地理解问题的表层结构，但也让我们难以辨认问题的深层结构。
有一个经典的实验，要求大学生解答下面的肿瘤问题：
假如你是一名医生，有一个病人胃里长了恶性肿瘤。由于条件所限，不能给病人做手术，但如果不摘除肿瘤病人会死亡。有一种特殊的射线可以杀死癌细胞。如果想把肿瘤一次性去除，使用的射线强度会过大，病人未病变的器官会受到影响。射线强度低的话，对正常器官没有影响，但对癌细胞也没有效果。请问怎样在杀死癌细胞的同时，保护正常的器官呢？
大多数学生解不出来，实验者便告诉他们答案：将几束低强度射线从不同角度聚焦在肿瘤上，这样正常的器官就不受影响，但射线的强度相加足以杀死癌细胞。
确定学生理解了答案后，实验者给他们看下面的军队问题：
一个小国家的独裁皇帝住在城堡里，这个城堡在国家的中心位置，有很多条道路呈辐射状向外延伸。一个将军计划攻陷城堡，解放老百姓。如果他将全部兵力集中进攻，那么一次就可以攻下城堡。但线人告诉将军，皇帝在每条路上都埋了地雷，如果通过的人数少，地雷不会引爆；如果通过的人数一多，地雷就会爆炸。这不仅会破坏道路，还会摧毁附近的村庄。请问将军应该如何进攻？
这两个问题有着同样的深层结构：如果人数太多会带来损失，将军可以分散兵力从各个方向进攻。答案可能很明显，但被试的大学生没有意识到。只有30%的被试者做对了第二道题，尽管他们刚刚才看到一个大同小异的问题和答案。因为大脑理解事物的习惯让他们觉得，第一道题和肿瘤有关，第二道题和军队有关，两者怎么会有联系呢？
既然如此，如果在阅读的时候，直接告诉学生要思考深层结构，问题不就解决了吗？不能。这个办法的缺点在于，问题的深层结构不容易发现，更糟糕的是，一个问题往往不止一个深层结构。比如你在读上面的军队问题时，很难同时思考：它的深层结构符合勾股定理吗？是在找化学反应吗？是不是能量守恒定律？要理解深层结构，你不仅需要理解问题的所有方面是怎样联系在一起，还要分清主要和次要的方面。
上述实验中，在回答了肿瘤问题后，实验者告诉被试的大学生：“这个肿瘤问题可能对解答军队的问题有帮助。”这时几乎所有人都能解答第二道题。两道题的类比很容易看出来：城堡就像肿瘤，军队就像射线，所以问题的根源是人们没有意识到这两题有相同的深层结构。
有些时候，即使学生知道一个新的问题和已解答的问题有同样的深层结构，迁移的效果也不尽如人意。记得有个同事说过：“有些知识点没必要备课，让学生自己看课本上的例题，然后做习题就好了。”其实这样做的效率通常不高。想象一下，一个学生知道他在解的问题与函数关系式有关，课本上也有例题及其解题过程。尽管例题和在解的问题表面上看不同，一个是关于杂货店的存货，一个是关于手机话费，学生也明白自己应该透过表层结构发现深层结构，但是要想参考书中例题的思路，他必须理解这两个问题是如何分别映射到深层结构的。这就像他理解上面的肿瘤问题，也知道它的答案，但当他遇到军队问题时，他就不知道军队是对应射线、肿瘤还是正常器官。因此，当一个问题有很多组成部分，解答步骤很多时，迁移常常因为找不到已解答的问题到新问题的映射而难以实现。
识别问题与深层结构之间的对应关系，是迁移的第二个关键。
（4）
既然理解新的概念不容易，即使理解了也不容易迁移到新的问题中去。那么，我们可以如何应对呢？
要想深层理解新的概念，关键在于正确地联系合适的已知概念和实际例子。因此，可以选择如下策略：
选择合适的已有概念选择合适的实际例子构建正确的联系方式
比如，理解三角形的高，我们可以选择“三角形”和“点到直线的距离”作为已有概念，确保学生先了解。接着，选择足够多的三角形作为实例，不仅要有锐角三角形，还要有直角三角形和钝角三角形；三角形不仅要正着放，还要倒着放和侧着放。最后，帮助学生构建正确的联系，让学生理解“三角形的高就是顶点到其对边的距离”；同时，通过练习在各种三角形上画高，比较各种三角形的高的不同点，从而理解高的概念。
理解概念之后，是知识的迁移。要想提高迁移的概率，关键在于识别问题的深层结构，以及找到问题与深层结构之间的对应关系。因此，在理解的基础上，可以选择如下策略：
单题练习形成深层结构题组练习巩固深层结构
比如，当学生遇到下面的题目：
一辆汽车计划从A地出发开往千米远的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？
解答之后，我们可以提出问题：“这道题考察了什么知识点？”学生经过思考和提示，得出这道题主要考察分式方程的应用，列方程的时候，还涉及到“速度=路程÷时间”的等量关系。这样，学生就能初步形成这道题的深层结构。
为了巩固对深层结构的理解，我们可以设计下面的题组练习：
为了继续美化城市，计划在路旁栽树棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵树比原计划多20%，结果提前4天完成，求实际每天栽树多少棵？甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇字的文章与乙打一篇字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？某商店用元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用元购进第二批该种文具盒，但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10只．求第一批每只文具盒的进价是多少元？
学生解答以后，我们可以引导其观察这几道题的相似点，让学生总结出它们都是考察分式方程的应用，而且列方程的时候，还涉及到“单位量=总量÷数量”的等量关系。这样，学生就能强化对这类题目的深层结构的理解，为以后的迁移增大了概率。
最后想说的是，尽管深层知识是你想要达到的目标，但是你应该清楚学生能达到的层次，以及他们多久才能达到这一层次。深层知识来之不易，是反复训练的结果。如果一个复杂的概念，你的学生在短时间内还没有深层的理解，你千万不要泄气。表面知识比一无所知要好得多，再说表面知识是通向深层知识的台阶。你的学生可能需要好几年才能获得真正的深层理解，你能做的就是带领他们走下去，并掌控好前进的节奏。
教育是一门需要等待的艺术。
参考资料：
《为什么学生不喜欢上学?》作者：(美)威廉厄姆Willingham.D.T.)出版社:江苏教育出版社年
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